# 회전

**회전**(rotation)은 기하학 도형이나 점을 평면 공간 내의 한 점(또는 축)을 중심으로 일정한 각도만큼 돌리는 **합동 변환**(congrence transformation)의 일종이다. 회전을 통해어진 도형 원래 도형과 크기와 모양이 동일하며, 이는 도형의 **합동성**(congruence)을 유지한다는 의미이다. 회전은 일상생활뿐 아니라 컴퓨터 그래픽스, 물리학, 로봇 공학 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 한다.

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## 개요

회전은 점, 선분, 도형 또는 공간 전체를 특정 **회전 중심**(center of rotation)을 기준으로 주어진 **회전 각도**(angle of rotation)만큼 시계 방향 또는 반시계 방향으로 이동시키는 변환이다. 회전 후의 도형은 원래 도형과 모든 길이와 각도가 보존되므로, 이는 **강체 운동**(rigid motion)에 해당한다.

회전은 **합동 변환**의 세 가지 기본 유형 — 평행이동, 대칭이동, 회전 — 중 하나이며, 특히 2차원 평면에서의 회전은 수학 교육에서 중요한 개념으로 다뤄진다.

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## 2차원 평면에서의 회전

2차원 좌표평면에서, 한 점 $ P(x, y) $를 원점 $ O(0, 0) $을 중심으로 각도 $ \theta $만큼 **반시계 방향**으로 회전시키면, 새로운 좌표 $ P'(x', y') $는 다음과 같이 삼각함수를 이용해 계산할 수 있다:

$$
\begin{cases}
x' = x \cos\theta - y \sin\theta \\
y' = x \sin\theta + y \cos\theta
\end{cases}
$$

이 변환은 **행렬 표현**으로도 나타낼 수 있다:

$$
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
$$

이 행렬을 **회전 행렬**(rotation matrix)이라고 한다.

### 주요 회전 각도의 예

| 회전 각도 (°) | 회전 행렬 |
|---------------|-----------|
| 90° (반시계)  | $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ |
| 180°          | $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ |
| 270° (반시계) | $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ |
| 360°          | $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ (항등 변환) |

예를 들어, 점 $ (1, 0) $을 원점 중심으로 90° 반시계 방향 회전하면 $ (0, 1) $이 된다.

### 임의의 점을 중심으로 회전

회전 중심이 원점이 아닌 경우, 다음과 같은 절차를 거친다:

1. 회전 중심 $ C(a, b) $를 원점으로 평행이동 (즉, 모든 점에서 $ (a, b) $를 뺀다).
2. 원점 중심으로 회전 변환을 적용.
3. 다시 $ (a, b) $만큼 평행이동하여 원래 위치로 복귀.

이를 수식으로 표현하면:

$$
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x - a \\
y - b
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
a \\
b
\end{bmatrix}
$$

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## 3차원 공간에서의 회전

3차원에서의 회전은 더 복잡하며, **회전축**(axis of rotation)이 필요하다. 일반적으로 x, y, z축을 중심으로 회전하는 경우, 각각의 회전 행렬은 다음과 같다:

### x축 중심 회전 (피치, pitch)

$$
R_x(\theta) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
$$

### y축 중심 회전 (요, yaw)

$$
R_y(\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & 0 & \sin\theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin\theta & 0 & \cos\theta
\end{bmatrix}
$$

### z축 중심 회전 (롤, roll)

$$
R_z(\theta) =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

3차원 회전은 일반적으로 **오일러 각**(Euler angles) 또는 **쿼터니언**(quaternion)을 사용해 표현하며, 특히 컴퓨터 그래픽스와 로봇 공학에서는 쿼터니언이 회전의 보간 및 계산에서 더 안정적인 성능을 제공한다.

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## 회전의 성질

회전 변환은 다음과 같은 중요한 수학적 성질을 가진다:

- **합동성 보존**: 길이, 각도, 면적, 도형의 모양이 변하지 않는다.
- **등거리성**(isometry): 임의의 두 점 사이의 거리가 회전 후에도 동일하다.
- **방향성**: 반시계 방향 회전은 일반적으로 **양의 각도**, 시계 방향은 **음의 각도**로 표현.
- **항등 변환**: 360° 회전은 원래 상태와 동일하므로, 아무 변환도 하지 않은 것과 같다.
- **역변환**: $ \theta $만큼 회전한 후 $ -\theta $만큼 회전하면 원래 상태로 돌아간다.

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## 응용 분야

- **컴퓨터 그래픽스**: 3D 모델의 회전, 카메라 시점 조정 등에 사용.
- **로봇 공학**: 로봇 팔의 관절 운동을 제어할 때 회전 행렬 또는 쿼터니언 활용.
- **물리학**:刚体의 운동 분석, 각운동량, 회전 운동 방정식 등.
- **지도 제작 및 항법**: 방위각 계산, 좌표계 변환.

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## 관련 개념

- **합동 변환**(Congruence Transformation): 도형의 크기와 모양을 유지하는 변환 (평행이동, 대칭이동, 회전 포함).
- **변환 기하학**(Transformation Geometry): 도형의 이동과 변환을 연구하는 기하학 분야.
- **대칭성**(Symmetry): 정다각형 등에서 회전 대칭성을 가진 도형은 특정 각도로 회전해도 원래 모습과 일치한다.

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## 참고 자료

- Stewart, J. (2015). *Calculus: Early Transcendentals*. Cengage Learning.
- Strang, G. (2016). *Introduction to Linear Algebra*. Wellesley-Cambridge Press.
- Wikipedia: "Rotation (mathematics)", "Rotation matrix", "Quaternion"
- Khan Academy: Geometry - Transformations (https://www.khanacademy.org/math/geometry)

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회전은 기하학의 핵심 개념 중 하나로, 수학적 사고와 실세계 응용을 연결하는 중요한 다리 역할을 한다.